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普适的代价是抽象

函数可以看成具有有限维或无限维的向量（取决于自变量的范围）函数之间的加法类似于向量之间的加法，函数的数乘类似于向量的数乘。

函数的算子（operators）就等同于向量的变换 (transformations)

函数的微分是线性运算等同于向量的变换是线性的

\begin{array}{r} \frac{d}{d x} (x^{3} + x^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) \end{array} ⟷ L (\vec{v} + \vec{w}) = L (\vec{v}) + L (\vec{w})

\frac{d}{d x} (4 x^{3}) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) ⟷ L (c \vec{v}) = c L (\vec{v})

线性代数与函数之间的对应关系：

a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots a_{1} x + a_{0} = [\begin{matrix} a_{0} \\ a_{1} \\ ⋮ \\ a_{n - 1} \\ a_{n} \\ 0 \\ ⋮ \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} 1 \\ x \\ ⋮ \\ x^{n - 1} \\ x^{n} \\ 0 \\ ⋮ \end{matrix}]

右边的由自变量构成的向量称为基函数。我们可以用矩阵来求解一个函数的导数

贡献者

OveDuke

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