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方差的无偏估计值是指在统计学中，用来估计总体方差的一个样本方差值，它没有系统性的偏差。在实际应用中，由于我们通常只能获得总体的一个样本，因此需要使用样本方差来估计总体方差。为了使样本方差成为一个无偏估计量，需要对其进行适当的调整。

总体方差与样本方差

• 总体方差（Population Variance）是指整个总体数据的离散程度，用σ²表示，计算公式为:
  ${\sigma }^2=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(x_i-\mu {)}^2$ 其中，N是总体大小，(x_i)是每个数据点，μ是总体均值。

• 样本方差（Sample Variance）是指从总体中抽取的样本数据的离散程度，用$s^2$表示，计算公式为： $s^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2$ 其中，n是样本大小，(x_i)是每个样本点，(\bar{x})是样本均值。

为什么需要无偏估计

当我们用样本方差来估计总体方差时，直接使用上述的样本方差公式（除以(n)）会低估总体方差，因为样本均值$\overline{x}$通常比总体均值μ更接近样本中的各个数据点。因此，为了得到总体方差的无偏估计，我们需要对样本方差进行调整，即除以(n-1)而不是(n)。这就是所谓的Bessel's correction（贝塞尔校正）。

无偏估计的重要性

无偏估计值保证了在多次重复抽样的情况下，样本方差的期望值等于真实的总体方差。这意味着，如果我们多次从同一总体中抽取样本，并计算每个样本的方差，这些样本方差的平均值将接近总体方差。如果估计量是有偏的，那么这些样本方差的平均值将系统地偏离总体方差。

总结来说，方差的无偏估计值是一个重要的统计概念，它确保了我们对总体方差的估计不会因为抽样而产生系统性偏差。在实际应用中，使用无偏估计量可以提供更准确的统计推断。

贡献者

OveDuke

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